Resolver {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a -1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y+1\right), o mínimo común denominador de y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1.

$$3x+3=y+1$$

Resta y en ambos lados.

$$3x+3-y=1$$

Resta 3 en ambos lados.

$$3x-y=1-3$$

Resta 3 de 1 para obter -2.

$$3x-y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable y non pode ser igual a 1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4\left(y-1\right), o mínimo común denominador de y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x-1.

$$4x-4=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$4x-4-y=-1$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$4x-y=-1+4$$

Suma -1 e 4 para obter 3.

$$4x-y=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=-2$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y-2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2+y}{3} na outra ecuación, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Multiplica 4 por \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Suma \frac{4y}{3} a -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Suma \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=17$$

Substitúe y por 17 en x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Suma -\frac{2}{3} a \frac{17}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=17$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a -1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y+1\right), o mínimo común denominador de y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1.

$$3x+3=y+1$$

Resta y en ambos lados.

$$3x+3-y=1$$

Resta 3 en ambos lados.

$$3x-y=1-3$$

Resta 3 de 1 para obter -2.

$$3x-y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable y non pode ser igual a 1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4\left(y-1\right), o mínimo común denominador de y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x-1.

$$4x-4=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$4x-4-y=-1$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$4x-y=-1+4$$

Suma -1 e 4 para obter 3.

$$4x-y=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=17$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a -1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y+1\right), o mínimo común denominador de y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1.

$$3x+3=y+1$$

Resta y en ambos lados.

$$3x+3-y=1$$

Resta 3 en ambos lados.

$$3x-y=1-3$$

Resta 3 de 1 para obter -2.

$$3x-y=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable y non pode ser igual a 1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 4\left(y-1\right), o mínimo común denominador de y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x-1.

$$4x-4=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$4x-4-y=-1$$

Engadir 4 en ambos lados.

$$4x-y=-1+4$$

Suma -1 e 4 para obter 3.

$$4x-y=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Resta 4x-y=3 de 3x-y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-4x=-2-3$$

Suma 3x a -4x.

$$-x=-2-3$$

Suma -2 a -3.

$$-x=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en 4x-y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$4\times 5-y=3$$

Multiplica 4 por 5.

$$20-y=3$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-17$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=17$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=17$$