Resolver {r}{x-7y=-11}{5x+2y=-18}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 7 y = - 11 } \\ { 5 x + 2 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-7y=-11$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$x=7y-11$$

Substitúe x por 7y-11 na outra ecuación, 5x+2y=-18.

$$5\left(7y-11\right)+2y=-18$$

Multiplica 5 por 7y-11.

$$35y-55+2y=-18$$

Suma 35y a 2y.

$$37y-55=-18$$

Suma 55 en ambos lados da ecuación.

$$37y=37$$

Divide ambos lados entre 37.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=7y-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=7-11$$

Suma -11 a 7.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{2-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&\frac{7}{37}\\-\frac{5}{37}&\frac{1}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\left(-11\right)+\frac{7}{37}\left(-18\right)\\-\frac{5}{37}\left(-11\right)+\frac{1}{37}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Para que x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\left(-11\right),5x+2y=-18$$

Simplifica.

$$5x-35y=-55,5x+2y=-18$$

Resta 5x+2y=-18 de 5x-35y=-55 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-35y-2y=-55+18$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-35y-2y=-55+18$$

Suma -35y a -2y.

$$-37y=-55+18$$

Suma -55 a 18.

$$-37y=-37$$

Divide ambos lados entre -37.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 5x+2y=-18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+2=-18$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=1$$