Resolver {r}{x+4y=40}{-x+8y=68}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 40 } \\ { - x + 8 y = 68 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+4y=40$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$x=-4y+40$$

Substitúe x por -4y+40 na outra ecuación, -x+8y=68.

$$-\left(-4y+40\right)+8y=68$$

Multiplica -1 por -4y+40.

$$4y-40+8y=68$$

Suma 4y a 8y.

$$12y-40=68$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$12y=108$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=-4y+40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-4\times 9+40$$

Multiplica -4 por 9.

$$x=-36+40$$

Suma 40 a -36.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{8-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{8-4\left(-1\right)}&\frac{1}{8-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\68\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 40-\frac{1}{3}\times 68\\\frac{1}{12}\times 40+\frac{1}{12}\times 68\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+4y=40,-x+8y=68$$

Para que x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-x-4y=-40,-x+8y=68$$

Resta -x+8y=68 de -x-4y=-40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x-4y-8y=-40-68$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y-8y=-40-68$$

Suma -4y a -8y.

$$-12y=-40-68$$

Suma -40 a -68.

$$-12y=-108$$

Divide ambos lados entre -12.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en -x+8y=68. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+8\times 9=68$$

Multiplica 8 por 9.

$$-x+72=68$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=9$$