Resolver {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

Resolver d, q

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a d mediante o illamento de d no lado esquerdo do signo igual.

$$d+q=40$$

Resta q en ambos lados da ecuación.

$$d=-q+40$$

Substitúe d por -q+40 na outra ecuación, 10d+0.25q=5.8.

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

Multiplica 10 por -q+40.

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

Suma -10q a \frac{q}{4}.

$$-9.75q+400=5.8$$

Resta 400 en ambos lados da ecuación.

$$-9.75q=-394.2$$

Divide ambos lados da ecuación entre -9.75, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Substitúe q por \frac{2628}{65} en d=-q+40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar d directamente.

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

Suma 40 a -\frac{2628}{65}.

$$d=-\frac{28}{65}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz d e q.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Para que d e 10d sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

Simplifica.

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

Resta 10d+0.25q=5.8 de 10d+10q=400 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

Suma 10d a -10d. 10d e -10d anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10q-0.25q=400-5.8$$

Suma 10q a -\frac{q}{4}.

$$9.75q=400-5.8$$

Suma 400 a -5.8.

$$9.75q=394.2$$

Divide ambos lados da ecuación entre 9.75, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Substitúe q por \frac{2628}{65} en 10d+0.25q=5.8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar d directamente.

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

Multiplica 0.25 por \frac{2628}{65} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

Resta \frac{657}{65} en ambos lados da ecuación.

$$10d=-\frac{56}{13}$$

Divide ambos lados entre 10.

$$d=-\frac{28}{65}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$