Resolver {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=-5$$

$$b=25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$a+b=20$$

Resta b en ambos lados da ecuación.

$$a=-b+20$$

Substitúe a por -b+20 na outra ecuación, 6a+2b=20.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

Multiplica 6 por -b+20.

$$-6b+120+2b=20$$

Suma -6b a 2b.

$$-4b+120=20$$

Resta 120 en ambos lados da ecuación.

$$-4b=-100$$

Divide ambos lados entre -4.

$$b=25$$

Substitúe b por 25 en a=-b+20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-25+20$$

Suma 20 a -25.

$$a=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-5,b=25$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=-5,b=25$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Para que a e 6a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

Simplifica.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

Resta 6a+2b=20 de 6a+6b=120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

Suma 6a a -6a. 6a e -6a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6b-2b=120-20$$

Suma 6b a -2b.

$$4b=120-20$$

Suma 120 a -20.

$$4b=100$$

Divide ambos lados entre 4.

$$b=25$$

Substitúe b por 25 en 6a+2b=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$6a+2\times 25=20$$

Multiplica 2 por 25.

$$6a+50=20$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$6a=-30$$

Divide ambos lados entre 6.

$$a=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-5,b=25$$