Resolver {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$8x+y=21$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$8x=-y+21$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

Multiplica \frac{1}{8} por -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Substitúe x por \frac{-y+21}{8} na outra ecuación, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

Multiplica 24 por \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

Suma -3y a -5y.

$$-8y+63=23$$

Resta 63 en ambos lados da ecuación.

$$-8y=-40$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

Multiplica -\frac{1}{8} por 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Suma \frac{21}{8} a -\frac{5}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Para que 8x e 24x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 24 e todos os termos a cada lado da segunda por 8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Simplifica.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Resta 192x-40y=184 de 192x+24y=504 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

Suma 192x a -192x. 192x e -192x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y+40y=504-184$$

Suma 24y a 40y.

$$64y=504-184$$

Suma 504 a -184.

$$64y=320$$

Divide ambos lados entre 64.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 24x-5y=23. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$24x-5\times 5=23$$

Multiplica -5 por 5.

$$24x-25=23$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$24x=48$$

Divide ambos lados entre 24.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=5$$