Resolver {r}{7x+2y=24}{-8x+2y=-30}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { - 8 x + 2 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$7x+2y=24$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$7x=-2y+24$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Multiplica \frac{1}{7} por -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Substitúe x por \frac{-2y+24}{7} na outra ecuación, -8x+2y=-30.

$$-8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=-30$$

Multiplica -8 por \frac{-2y+24}{7}.

$$\frac{16}{7}y-\frac{192}{7}+2y=-30$$

Suma \frac{16y}{7} a 2y.

$$\frac{30}{7}y-\frac{192}{7}=-30$$

Suma \frac{192}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{30}{7}y=-\frac{18}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{30}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Substitúe y por -\frac{3}{5} en x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{24}{7}$$

Multiplica -\frac{2}{7} por -\frac{3}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{6}{35}+\frac{24}{7}$$

Suma \frac{24}{7} a \frac{6}{35} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{18}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}&-\frac{2}{7\times 2-2\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{7\times 2-2\left(-8\right)}&\frac{7}{7\times 2-2\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{4}{15}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\-30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 24-\frac{1}{15}\left(-30\right)\\\frac{4}{15}\times 24+\frac{7}{30}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$7x+2y=24,-8x+2y=-30$$

Resta -8x+2y=-30 de 7x+2y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x+8x+2y-2y=24+30$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7x+8x=24+30$$

Suma 7x a 8x.

$$15x=24+30$$

Suma 24 a 30.

$$15x=54$$

Divide ambos lados entre 15.

$$x=\frac{18}{5}$$

Substitúe x por \frac{18}{5} en -8x+2y=-30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-8\times \frac{18}{5}+2y=-30$$

Multiplica -8 por \frac{18}{5}.

$$-\frac{144}{5}+2y=-30$$

Suma \frac{144}{5} en ambos lados da ecuación.

$$2y=-\frac{6}{5}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{3}{5}$$