Resolver {r}{7quad2x+y=1}{-y=1-2x}

$$\left. \begin{array} { r } { 7 \quad 2 x + y = 1 } \\ { - y = 1 - 2 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica 7 e 2 para obter 14.

$$14x+y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$-y+2x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$14x+y=1,2x-y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$14x+y=1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$14x=-y+1$$

Divide ambos lados entre 14.

$$x=\frac{1}{14}\left(-y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{14} por -y+1.

$$x=-\frac{1}{14}y+\frac{1}{14}$$

Substitúe x por \frac{-y+1}{14} na outra ecuación, 2x-y=1.

$$2\left(-\frac{1}{14}y+\frac{1}{14}\right)-y=1$$

Multiplica 2 por \frac{-y+1}{14}.

$$-\frac{1}{7}y+\frac{1}{7}-y=1$$

Suma -\frac{y}{7} a -y.

$$-\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}=1$$

Resta \frac{1}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{8}{7}y=\frac{6}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Substitúe y por -\frac{3}{4} en x=-\frac{1}{14}y+\frac{1}{14}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{14}\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{14}$$

Multiplica -\frac{1}{14} por -\frac{3}{4} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{3}{56}+\frac{1}{14}$$

Suma \frac{1}{14} a \frac{3}{56} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{8},y=-\frac{3}{4}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica 7 e 2 para obter 14.

$$14x+y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$-y+2x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$14x+y=1,2x-y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}14&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}14&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{14\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{14\left(-1\right)-2}&\frac{14}{14\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{8}&-\frac{7}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1+1}{16}\\\frac{1-7}{8}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{8},y=-\frac{3}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica 7 e 2 para obter 14.

$$14x+y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$-y+2x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$14x+y=1,2x-y=1$$

Para que 14x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 14.

$$2\times 14x+2y=2,14\times 2x+14\left(-1\right)y=14$$

Simplifica.

$$28x+2y=2,28x-14y=14$$

Resta 28x-14y=14 de 28x+2y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$28x-28x+2y+14y=2-14$$

Suma 28x a -28x. 28x e -28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+14y=2-14$$

Suma 2y a 14y.

$$16y=2-14$$

Suma 2 a -14.

$$16y=-12$$

Divide ambos lados entre 16.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Substitúe y por -\frac{3}{4} en 2x-y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-\left(-\frac{3}{4}\right)=1$$

Resta \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{1}{4}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{8},y=-\frac{3}{4}$$