Resolver {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$6x+8y=k$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$6x=-8y+k$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

Multiplica \frac{1}{6} por -8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

Substitúe x por -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} na outra ecuación, x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

Suma -\frac{4y}{3} a y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

Resta \frac{k}{6} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Substitúe y por -3+\frac{k}{2} en x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

Suma \frac{k}{6} a 4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Para que 6x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 6.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

Resta 6x+6y=6 de 6x+8y=k mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-6y=k-6$$

Suma 8y a -6y.

$$2y=k-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Substitúe y por \frac{k}{2}-3 en x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

Resta -3+\frac{k}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$