Resolver {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$5y+x=44$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$5y=-x+44$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

Substitúe y por \frac{-x+44}{5} na outra ecuación, y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

Suma -\frac{x}{5} a -x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

Resta \frac{44}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{6}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

Multiplica -\frac{1}{5} por 4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

Suma \frac{44}{5} a -\frac{4}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=8,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Para que 5y e y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

Simplifica.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

Resta 5y-5x=20 de 5y+x=44 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+5x=44-20$$

Suma x a 5x.

$$6x=44-20$$

Suma 44 a -20.

$$6x=24$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y-x=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-4=4$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=4$$