Resolver {r}{4x-y=1}{3x+y=9}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-y=1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$4x=y+1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{1+y}{4} na outra ecuación, 3x+y=9.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

Multiplica 3 por \frac{1+y}{4}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

Suma \frac{3y}{4} a y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

Resta \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{33}{7}$$

Substitúe y por \frac{33}{7} en x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

Multiplica \frac{1}{4} por \frac{33}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

Suma \frac{1}{4} a \frac{33}{28} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{10}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

Simplifica.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

Resta 12x+4y=36 de 12x-3y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-4y=3-36$$

Suma -3y a -4y.

$$-7y=3-36$$

Suma 3 a -36.

$$-7y=-33$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{33}{7}$$

Substitúe y por \frac{33}{7} en 3x+y=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

Resta \frac{33}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{30}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{10}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$