Resolver {r}{4x+3y=17}{3x-4y+6=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 4 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+3y=17$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-3y+17$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -3y+17.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}$$

Substitúe x por \frac{-3y+17}{4} na outra ecuación, 3x-4y+6=0.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}\right)-4y+6=0$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+17}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{51}{4}-4y+6=0$$

Suma -\frac{9y}{4} a -4y.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{51}{4}+6=0$$

Suma \frac{51}{4} a 6.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{75}{4}=0$$

Resta \frac{75}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{25}{4}y=-\frac{75}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{25}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{17}{4}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

Suma \frac{17}{4} a -\frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 17+\frac{3}{25}\left(-6\right)\\\frac{3}{25}\times 17-\frac{4}{25}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 17,4\times 3x+4\left(-4\right)y+4\times 6=0$$

Simplifica.

$$12x+9y=51,12x-16y+24=0$$

Resta 12x-16y+24=0 de 12x+9y=51 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+9y+16y-24=51$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y+16y-24=51$$

Suma 9y a 16y.

$$25y-24=51$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$25y=75$$

Divide ambos lados entre 25.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 3x-4y+6=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-4\times 3+6=0$$

Multiplica -4 por 3.

$$3x-12+6=0$$

Suma -12 a 6.

$$3x-6=0$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$