Resolver {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$32x+3y=5$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$32x=-3y+5$$

Divide ambos lados entre 32.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{32} por -3y+5.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

Substitúe x por \frac{-3y+5}{32} na outra ecuación, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

Multiplica 3 por \frac{-3y+5}{32}.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

Suma -\frac{9y}{32} a 2y.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

Resta \frac{15}{32} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{55}{32}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{445}{11}$$

Substitúe y por \frac{445}{11} en x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

Multiplica -\frac{3}{32} por \frac{445}{11} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Suma \frac{5}{32} a -\frac{1335}{352} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{40}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Para que 32x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 32.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Simplifica.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

Resta 96x+64y=2240 de 96x+9y=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

Suma 96x a -96x. 96x e -96x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-64y=15-2240$$

Suma 9y a -64y.

$$-55y=15-2240$$

Suma 15 a -2240.

$$-55y=-2225$$

Divide ambos lados entre -55.

$$y=\frac{445}{11}$$

Substitúe y por \frac{445}{11} en 3x+2y=70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

Multiplica 2 por \frac{445}{11}.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

Resta \frac{890}{11} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{40}{11}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$