Resolver {r}{3x+2y=0}{x-5y=17}

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x + 2 y = 0 } \\ { x - 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=0,x-5y=17$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=0$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)y$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y.

$$x=-\frac{2}{3}y$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3} na outra ecuación, x-5y=17.

$$-\frac{2}{3}y-5y=17$$

Suma -\frac{2y}{3} a -5y.

$$-\frac{17}{3}y=17$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{2}{3}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -3.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=0,x-5y=17$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\17\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\17\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-5\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-5\right)-2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{1}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\17\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 17\\-\frac{3}{17}\times 17\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=0,x-5y=17$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x+2y=0,3x+3\left(-5\right)y=3\times 17$$

Simplifica.

$$3x+2y=0,3x-15y=51$$

Resta 3x-15y=51 de 3x+2y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+2y+15y=-51$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+15y=-51$$

Suma 2y a 15y.

$$17y=-51$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x-5y=17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-5\left(-3\right)=17$$

Multiplica -5 por -3.

$$x+15=17$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=-3$$