Resolver {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=10$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+5 na outra ecuación, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Multiplica -3 por -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Suma \frac{9y}{2} a y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{3}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 6.

$$x=-9+5$$

Suma 5 a -9.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Para que 2x e -3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Simplifica.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Resta -6x+2y=36 de -6x-9y=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-2y=-30-36$$

Suma -9y a -2y.

$$-11y=-30-36$$

Suma -30 a -36.

$$-11y=-66$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en -3x+y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-3x+6=18$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=6$$