Resolver {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x-10y=-10$$

Suma 10y en ambos lados da ecuación.

$$10x=10y-10$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -10+10y.

$$x=y-1$$

Substitúe x por y-1 na outra ecuación, -10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

Multiplica -10 por y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

Suma -10y a 8y.

$$-2y+10=12$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-1-1$$

Suma -1 a -1.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Para que 10x e -10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -10 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

Simplifica.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

Resta -100x+80y=120 de -100x+100y=100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

Suma -100x a 100x. -100x e 100x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$100y-80y=100-120$$

Suma 100y a -80y.

$$20y=100-120$$

Suma 100 a -120.

$$20y=-20$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -10x+8y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

Multiplica 8 por -1.

$$-10x-8=12$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-10x=20$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=-1$$