Resolver {r}{-x+3y=4}{-7x+12y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { - x + 3 y = 4 } \\ { - 7 x + 12 y = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1.777777778$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+3y=4$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-3y+4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-3y+4\right)$$

Multiplica -1 por -3y+4.

$$x=3y-4$$

Substitúe x por 3y-4 na outra ecuación, -7x+12y=12.

$$-7\left(3y-4\right)+12y=12$$

Multiplica -7 por 3y-4.

$$-21y+28+12y=12$$

Suma -21y a 12y.

$$-9y+28=12$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=-16$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=\frac{16}{9}$$

Substitúe y por \frac{16}{9} en x=3y-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times \frac{16}{9}-4$$

Multiplica 3 por \frac{16}{9}.

$$x=\frac{16}{3}-4$$

Suma -4 a \frac{16}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-12-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{1}{-12-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 12\\\frac{7}{9}\times 4-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{16}{9}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

Para que -x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-7\left(-1\right)x-7\times 3y=-7\times 4,-\left(-7\right)x-12y=-12$$

Simplifica.

$$7x-21y=-28,7x-12y=-12$$

Resta 7x-12y=-12 de 7x-21y=-28 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$7x-7x-21y+12y=-28+12$$

Suma 7x a -7x. 7x e -7x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-21y+12y=-28+12$$

Suma -21y a 12y.

$$-9y=-28+12$$

Suma -28 a 12.

$$-9y=-16$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=\frac{16}{9}$$

Substitúe y por \frac{16}{9} en -7x+12y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x+12\times \frac{16}{9}=12$$

Multiplica 12 por \frac{16}{9}.

$$-7x+\frac{64}{3}=12$$

Resta \frac{64}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-7x=-\frac{28}{3}$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$