Resolver {r}{-v+2d=-10}{d+3v=9}

$$\left. \begin{array} { r } { - v + 2 d = - 10 } \\ { d + 3 v = 9 } \end{array} \right.$$

Resolver v, d

$$v=4$$

$$d=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a v mediante o illamento de v no lado esquerdo do signo igual.

$$-v+2d=-10$$

Resta 2d en ambos lados da ecuación.

$$-v=-2d-10$$

Divide ambos lados entre -1.

$$v=-\left(-2d-10\right)$$

Multiplica -1 por -2d-10.

$$v=2d+10$$

Substitúe v por 10+2d na outra ecuación, 3v+d=9.

$$3\left(2d+10\right)+d=9$$

Multiplica 3 por 10+2d.

$$6d+30+d=9$$

Suma 6d a d.

$$7d+30=9$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$7d=-21$$

Divide ambos lados entre 7.

$$d=-3$$

Substitúe d por -3 en v=2d+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar v directamente.

$$v=2\left(-3\right)+10$$

Multiplica 2 por -3.

$$v=-6+10$$

Suma 10 a -6.

$$v=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$v=4,d=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&-\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-10\right)+\frac{2}{7}\times 9\\\frac{3}{7}\left(-10\right)+\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}v\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz v e d.

$$v=4,d=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-v+2d=-10,3v+d=9$$

Para que -v e 3v sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$3\left(-1\right)v+3\times 2d=3\left(-10\right),-3v-d=-9$$

Simplifica.

$$-3v+6d=-30,-3v-d=-9$$

Resta -3v-d=-9 de -3v+6d=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3v+3v+6d+d=-30+9$$

Suma -3v a 3v. -3v e 3v anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6d+d=-30+9$$

Suma 6d a d.

$$7d=-30+9$$

Suma -30 a 9.

$$7d=-21$$

Divide ambos lados entre 7.

$$d=-3$$

Substitúe d por -3 en 3v+d=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar v directamente.

$$3v-3=9$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3v=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$v=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$v=4,d=-3$$