Resolver {r}{-6x+21y=-24}{+quad6x-4y=24}

$$\left. \begin{array} { r } { - 6 x + 21 y = - 24 } \\ { + \quad 6 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-6x+21y=-24$$

Resta 21y en ambos lados da ecuación.

$$-6x=-21y-24$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-21y-24\right)$$

Multiplica -\frac{1}{6} por -21y-24.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Substitúe x por \frac{7y}{2}+4 na outra ecuación, 6x-4y=24.

$$6\left(\frac{7}{2}y+4\right)-4y=24$$

Multiplica 6 por \frac{7y}{2}+4.

$$21y+24-4y=24$$

Suma 21y a -4y.

$$17y+24=24$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$17y=0$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{7}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{21}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\\-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}&\frac{7}{34}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}\left(-24\right)+\frac{7}{34}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-24\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Para que -6x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por -6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 21y=6\left(-24\right),-6\times 6x-6\left(-4\right)y=-6\times 24$$

Simplifica.

$$-36x+126y=-144,-36x+24y=-144$$

Resta -36x+24y=-144 de -36x+126y=-144 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-36x+36x+126y-24y=-144+144$$

Suma -36x a 36x. -36x e 36x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$126y-24y=-144+144$$

Suma 126y a -24y.

$$102y=-144+144$$

Suma -144 a 144.

$$102y=0$$

Divide ambos lados entre 102.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 6x-4y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x=24$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=0$$