Resolver {r}{-2x+9y=8}{x-2y=6}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=14$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+9y=8$$

Resta 9y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-9y+8$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -9y+8.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

Substitúe x por \frac{9y}{2}-4 na outra ecuación, x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

Suma \frac{9y}{2} a -2y.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=10$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{9}{2}y-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

Multiplica \frac{9}{2} por 4.

$$x=18-4$$

Suma -4 a 18.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=14,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Para que -2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

Simplifica.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

Resta -2x+4y=-12 de -2x+9y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9y-4y=8+12$$

Suma 9y a -4y.

$$5y=8+12$$

Suma 8 a 12.

$$5y=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x-2y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\times 4=6$$

Multiplica -2 por 4.

$$x-8=6$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=4$$