Resolver {r}{-2a+3b=0}{2a+5b=16}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 a + 3 b = 0 } \\ { 2 a + 5 b = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$-2a+3b=0$$

Resta 3b en ambos lados da ecuación.

$$-2a=-3b$$

Divide ambos lados entre -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-3\right)b$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -3b.

$$a=\frac{3}{2}b$$

Substitúe a por \frac{3b}{2} na outra ecuación, 2a+5b=16.

$$2\times \frac{3}{2}b+5b=16$$

Multiplica 2 por \frac{3b}{2}.

$$3b+5b=16$$

Suma 3b a 5b.

$$8b=16$$

Divide ambos lados entre 8.

$$b=2$$

Substitúe b por 2 en a=\frac{3}{2}b. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{3}{2}\times 2$$

Multiplica \frac{3}{2} por 2.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{-2\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}&-\frac{2}{-2\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{16}\times 16\\\frac{1}{8}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=3,b=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2a+3b=0,2a+5b=16$$

Para que -2a e 2a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$2\left(-2\right)a+2\times 3b=0,-2\times 2a-2\times 5b=-2\times 16$$

Simplifica.

$$-4a+6b=0,-4a-10b=-32$$

Resta -4a-10b=-32 de -4a+6b=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4a+4a+6b+10b=32$$

Suma -4a a 4a. -4a e 4a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6b+10b=32$$

Suma 6b a 10b.

$$16b=32$$

Divide ambos lados entre 16.

$$b=2$$

Substitúe b por 2 en 2a+5b=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$2a+5\times 2=16$$

Multiplica 5 por 2.

$$2a+10=16$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$2a=6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=2$$