Resolver {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Resta 2 en ambos lados.

$$2x-3y=-9-2$$

Resta 2 de -9 para obter -11.

$$2x-3y=-11$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Combina 3x e 3x para obter 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Resta 15 en ambos lados.

$$6x-3y=12-15$$

Resta 15 de 12 para obter -3.

$$6x-3y=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=-11$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-11$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y-11}{2} na outra ecuación, 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

Multiplica 6 por \frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

Suma 9y a -3y.

$$6y-33=-3$$

Suma 33 en ambos lados da ecuación.

$$6y=30$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por 5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

Suma -\frac{11}{2} a \frac{15}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Resta 2 en ambos lados.

$$2x-3y=-9-2$$

Resta 2 de -9 para obter -11.

$$2x-3y=-11$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Combina 3x e 3x para obter 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Resta 15 en ambos lados.

$$6x-3y=12-15$$

Resta 15 de 12 para obter -3.

$$6x-3y=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Resta 2 en ambos lados.

$$2x-3y=-9-2$$

Resta 2 de -9 para obter -11.

$$2x-3y=-11$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Combina 3x e 3x para obter 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Resta 15 en ambos lados.

$$6x-3y=12-15$$

Resta 15 de 12 para obter -3.

$$6x-3y=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Resta 6x-3y=-3 de 2x-3y=-11 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

Suma -3y a 3y. -3y e 3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-6x=-11+3$$

Suma 2x a -6x.

$$-4x=-11+3$$

Suma -11 a 3.

$$-4x=-8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en 6x-3y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$6\times 2-3y=-3$$

Multiplica 6 por 2.

$$12-3y=-3$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-15$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=5$$