Resolver {l}{y=x+6}{y=2-3x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 6 } \\ { y = 2 - 3 x } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=6,y+3x=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=6$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+6$$

Substitúe y por x+6 na outra ecuación, y+3x=2.

$$x+6+3x=2$$

Suma x a 3x.

$$4x+6=2$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=x+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-1+6$$

Suma 6 a -1.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=6,y+3x=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{1}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=5,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=6,y+3x=2$$

Resta y+3x=2 de y-x=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-x-3x=6-2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-3x=6-2$$

Suma -x a -3x.

$$-4x=6-2$$

Suma 6 a -2.

$$-4x=4$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y+3x=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+3\left(-1\right)=2$$

Multiplica 3 por -1.

$$y-3=2$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=-1$$