Resolver {l}{y=x+5}{y=-4x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 5 } \\ { y = - 4 x } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=5,y+4x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=5$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+5$$

Substitúe y por x+5 na outra ecuación, y+4x=0.

$$x+5+4x=0$$

Suma x a 4x.

$$5x+5=0$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=x+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-1+5$$

Suma 5 a -1.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=5,y+4x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-1\right)}&\frac{1}{4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5\\-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=4,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=5,y+4x=0$$

Resta y+4x=0 de y-x=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-x-4x=5$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-4x=5$$

Suma -x a -4x.

$$-5x=5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y+4x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+4\left(-1\right)=0$$

Multiplica 4 por -1.

$$y-4=0$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=-1$$