Resolver {l}{y=x+1500}{0.06x+0.10y=1070}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 1500 } \\ { 0.06 x + 0.10 y = 1070 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=5750$$

$$y=7250$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1500$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=1500$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x+1500$$

Substitúe y por x+1500 na outra ecuación, 0.1y+0.06x=1070.

$$0.1\left(x+1500\right)+0.06x=1070$$

Multiplica 0.1 por x+1500.

$$0.1x+150+0.06x=1070$$

Suma \frac{x}{10} a \frac{3x}{50}.

$$0.16x+150=1070$$

Resta 150 en ambos lados da ecuación.

$$0.16x=920$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.16, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=5750$$

Substitúe x por 5750 en y=x+1500. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=5750+1500$$

Suma 1500 a 5750.

$$y=7250$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=7250,x=5750$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1500$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\0.1&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-\left(-0.1\right)}&-\frac{-1}{0.06-\left(-0.1\right)}\\-\frac{0.1}{0.06-\left(-0.1\right)}&\frac{1}{0.06-\left(-0.1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375&6.25\\-0.625&6.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1500\\1070\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.375\times 1500+6.25\times 1070\\-0.625\times 1500+6.25\times 1070\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7250\\5750\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=7250,x=5750$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=1500$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=1500,0.1y+0.06x=1070$$

Para que y e \frac{y}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$0.1y+0.1\left(-1\right)x=0.1\times 1500,0.1y+0.06x=1070$$

Simplifica.

$$0.1y-0.1x=150,0.1y+0.06x=1070$$

Resta 0.1y+0.06x=1070 de 0.1y-0.1x=150 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.1y-0.1y-0.1x-0.06x=150-1070$$

Suma \frac{y}{10} a -\frac{y}{10}. \frac{y}{10} e -\frac{y}{10} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-0.1x-0.06x=150-1070$$

Suma -\frac{x}{10} a -\frac{3x}{50}.

$$-0.16x=150-1070$$

Suma 150 a -1070.

$$-0.16x=-920$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.16, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=5750$$

Substitúe x por 5750 en 0.1y+0.06x=1070. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$0.1y+0.06\times 5750=1070$$

Multiplica 0.06 por 5750.

$$0.1y+345=1070$$

Resta 345 en ambos lados da ecuación.

$$0.1y=725$$

Multiplica ambos lados por 10.

$$y=7250$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=7250,x=5750$$