Resolver {l}{y=9x+6}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 9 x + 6 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y = \frac{57}{8} = 7\frac{1}{8} = 7.125$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$y-9x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-9x=6$$

Suma 9x en ambos lados da ecuación.

$$y=9x+6$$

Substitúe y por 9x+6 na outra ecuación, y-x=7.

$$9x+6-x=7$$

Suma 9x a -x.

$$8x+6=7$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$8x=1$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=\frac{1}{8}$$

Substitúe x por \frac{1}{8} en y=9x+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=9\times \frac{1}{8}+6$$

Multiplica 9 por \frac{1}{8}.

$$y=\frac{9}{8}+6$$

Suma 6 a \frac{9}{8}.

$$y=\frac{57}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$y-9x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-9\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&-\frac{-9}{-1-\left(-9\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-9\right)}&\frac{1}{-1-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{9}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 6+\frac{9}{8}\times 7\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{57}{8}\\\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 9x en ambos lados.

$$y-9x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-9x=6,y-x=7$$

Resta y-x=7 de y-9x=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-9x+x=6-7$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9x+x=6-7$$

Suma -9x a x.

$$-8x=6-7$$

Suma 6 a -7.

$$-8x=-1$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=\frac{1}{8}$$

Substitúe x por \frac{1}{8} en y-x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{1}{8}=7$$

Suma \frac{1}{8} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{57}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{57}{8},x=\frac{1}{8}$$