Resolver {l}{y=8x-11}{y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 8 x - 11 } \\ { y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7} \approx 1.857142857$$

$$y = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=-11$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-8x=-11,y-x=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-8x=-11$$

Suma 8x en ambos lados da ecuación.

$$y=8x-11$$

Substitúe y por 8x-11 na outra ecuación, y-x=2.

$$8x-11-x=2$$

Suma 8x a -x.

$$7x-11=2$$

Suma 11 en ambos lados da ecuación.

$$7x=13$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Substitúe x por \frac{13}{7} en y=8x-11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=8\times \frac{13}{7}-11$$

Multiplica 8 por \frac{13}{7}.

$$y=\frac{104}{7}-11$$

Suma -11 a \frac{104}{7}.

$$y=\frac{27}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=-11$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-8x=-11,y-x=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-8\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&-\frac{-8}{-1-\left(-8\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-8\right)}&\frac{1}{-1-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{8}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-11\right)+\frac{8}{7}\times 2\\-\frac{1}{7}\left(-11\right)+\frac{1}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{13}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=-11$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-8x=-11,y-x=2$$

Resta y-x=2 de y-8x=-11 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-8x+x=-11-2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8x+x=-11-2$$

Suma -8x a x.

$$-7x=-11-2$$

Suma -11 a -2.

$$-7x=-13$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=\frac{13}{7}$$

Substitúe x por \frac{13}{7} en y-x=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{13}{7}=2$$

Suma \frac{13}{7} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{27}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{27}{7},x=\frac{13}{7}$$