Resolver {l}{y=6x+4}{y=8x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 6 x + 4 } \\ { y = 8 x + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=1$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-6x=4,y-8x=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-6x=4$$

Suma 6x en ambos lados da ecuación.

$$y=6x+4$$

Substitúe y por 6x+4 na outra ecuación, y-8x=2.

$$6x+4-8x=2$$

Suma 6x a -8x.

$$-2x+4=2$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=6x+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=6+4$$

Suma 4 a 6.

$$y=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=10,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-6x=4,y-8x=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-6\right)}&\frac{1}{-8-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 4-3\times 2\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=10,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6x en ambos lados.

$$y-6x=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 8x en ambos lados.

$$y-8x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-6x=4,y-8x=2$$

Resta y-8x=2 de y-6x=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-6x+8x=4-2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6x+8x=4-2$$

Suma -6x a 8x.

$$2x=4-2$$

Suma 4 a -2.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y-8x=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-8=2$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$y=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=10,x=1$$