Resolver {l}{y=5x+3}{y=-2x-4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x + 3 } \\ { y = - 2 x - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=-4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-5x=3$$

Suma 5x en ambos lados da ecuación.

$$y=5x+3$$

Substitúe y por 5x+3 na outra ecuación, y+2x=-4.

$$5x+3+2x=-4$$

Suma 5x a 2x.

$$7x+3=-4$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$7x=-7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=5x+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=5\left(-1\right)+3$$

Multiplica 5 por -1.

$$y=-5+3$$

Suma 3 a -5.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=-4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-5\right)}&\frac{1}{2-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 3+\frac{5}{7}\left(-4\right)\\-\frac{1}{7}\times 3+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-2,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=-4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-5x=3,y+2x=-4$$

Resta y+2x=-4 de y-5x=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-5x-2x=3+4$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5x-2x=3+4$$

Suma -5x a -2x.

$$-7x=3+4$$

Suma 3 a 4.

$$-7x=7$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y+2x=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+2\left(-1\right)=-4$$

Multiplica 2 por -1.

$$y-2=-4$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=-1$$