Resolver {l}{y=4x-2}{y=-x+18}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = - x + 18 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=14$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=18$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-4x=-2$$

Suma 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=4x-2$$

Substitúe y por 4x-2 na outra ecuación, y+x=18.

$$4x-2+x=18$$

Suma 4x a x.

$$5x-2=18$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$5x=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=4x-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=4\times 4-2$$

Multiplica 4 por 4.

$$y=16-2$$

Suma -2 a 16.

$$y=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=14,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=18$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-4\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{4}{5}\times 18\\-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{1}{5}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=14,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=18$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-4x=-2,y+x=18$$

Resta y+x=18 de y-4x=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-4x-x=-2-18$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x-x=-2-18$$

Suma -4x a -x.

$$-5x=-2-18$$

Suma -2 a -18.

$$-5x=-20$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y+x=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+4=18$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=14,x=4$$