Resolver {l}{y=4x-2}{y=1/4x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x - 2 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=0$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-4x=-2$$

Suma 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=4x-2$$

Substitúe y por 4x-2 na outra ecuación, y-\frac{1}{4}x=-2.

$$4x-2-\frac{1}{4}x=-2$$

Suma 4x a -\frac{x}{4}.

$$\frac{15}{4}x-2=-2$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{15}{4}x=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{15}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y=4x-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{16}{15}\\-\frac{4}{15}&\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-2\right)+\frac{16}{15}\left(-2\right)\\-\frac{4}{15}\left(-2\right)+\frac{4}{15}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-2,x=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{4}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{4}x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-4x=-2,y-\frac{1}{4}x=-2$$

Resta y-\frac{1}{4}x=-2 de y-4x=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-4x+\frac{1}{4}x=-2+2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x+\frac{1}{4}x=-2+2$$

Suma -4x a \frac{x}{4}.

$$-\frac{15}{4}x=-2+2$$

Suma -2 a 2.

$$-\frac{15}{4}x=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{15}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y-\frac{1}{4}x=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=0$$