Resolver {l}{y=4x+1}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 4 x + 1 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=1$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-4x=1$$

Suma 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=4x+1$$

Substitúe y por 4x+1 na outra ecuación, y-5x=0.

$$4x+1-5x=0$$

Suma 4x a -5x.

$$-x+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-x=-1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=4x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=4+1$$

Suma 1 a 4.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-5-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-4\right)}&\frac{1}{-5-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=5,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4x en ambos lados.

$$y-4x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 5x en ambos lados.

$$y-5x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-4x=1,y-5x=0$$

Resta y-5x=0 de y-4x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-4x+5x=1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x+5x=1$$

Suma -4x a 5x.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y-5x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-5=0$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=1$$