Resolver {l}{y=3x-2}{y=2x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { y = 2 x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=5$$

$$y=13$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-3x=-2,y-2x=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-3x=-2$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=3x-2$$

Substitúe y por 3x-2 na outra ecuación, y-2x=3.

$$3x-2-2x=3$$

Suma 3x a -2x.

$$x-2=3$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en y=3x-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3\times 5-2$$

Multiplica 3 por 5.

$$y=15-2$$

Suma -2 a 15.

$$y=13$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=13,x=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-3x=-2,y-2x=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)+3\times 3\\-\left(-2\right)+3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=13,x=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$y-3x=-2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-3x=-2,y-2x=3$$

Resta y-2x=3 de y-3x=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-3x+2x=-2-3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3x+2x=-2-3$$

Suma -3x a 2x.

$$-x=-2-3$$

Suma -2 a -3.

$$-x=-5$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=5$$

Substitúe x por 5 en y-2x=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2\times 5=3$$

Multiplica -2 por 5.

$$y-10=3$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$y=13$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=13,x=5$$