Resolver {l}{y=2x-7}{y=-3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 7 } \\ { y = - 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=1$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=-7,y+3x=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=-7$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x-7$$

Substitúe y por 2x-7 na outra ecuación, y+3x=-2.

$$2x-7+3x=-2$$

Suma 2x a 3x.

$$5x-7=-2$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$5x=5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=2x-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2-7$$

Suma -7 a 2.

$$y=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-5,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=-7,y+3x=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\left(-7\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\\-\frac{1}{5}\left(-7\right)+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-5,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=-7,y+3x=-2$$

Resta y+3x=-2 de y-2x=-7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-2x-3x=-7+2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x-3x=-7+2$$

Suma -2x a -3x.

$$-5x=-7+2$$

Suma -7 a 2.

$$-5x=-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y+3x=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+3=-2$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$y=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-5,x=1$$