Resolver {l}{y=2x-3}{x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 3 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-2$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=-3,-y+x=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=-3$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x-3$$

Substitúe y por 2x-3 na outra ecuación, -y+x=5.

$$-\left(2x-3\right)+x=5$$

Multiplica -1 por 2x-3.

$$-2x+3+x=5$$

Suma -2x a x.

$$-x+3=5$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-x=2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en y=2x-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\left(-2\right)-3$$

Multiplica 2 por -2.

$$y=-4-3$$

Suma -3 a -4.

$$y=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-7,x=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=-3,-y+x=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-2\times 5\\-\left(-3\right)-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-7,x=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=-3,-y+x=5$$

Para que y e -y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-y-\left(-2x\right)=-\left(-3\right),-y+x=5$$

Simplifica.

$$-y+2x=3,-y+x=5$$

Resta -y+x=5 de -y+2x=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-y+y+2x-x=3-5$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-x=3-5$$

Suma 2x a -x.

$$x=3-5$$

Suma 3 a -5.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en -y+x=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-y-2=5$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$-y=7$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-7,x=-2$$