Resolver {l}{y=2x}{y=x/3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { y = \frac { x } { 3 } } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{x}{3} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y-x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=0$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x$$

Substitúe y por 2x na outra ecuación, 3y-x=0.

$$3\times 2x-x=0$$

Multiplica 3 por 2x.

$$6x-x=0$$

Suma 6x a -x.

$$5x=0$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y=2x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{x}{3} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y-x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=0,x=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{x}{3} en ambos lados.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3y-x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

Para que y e 3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=0,3y-x=0$$

Simplifica.

$$3y-6x=0,3y-x=0$$

Resta 3y-x=0 de 3y-6x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y-6x+x=0$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6x+x=0$$

Suma -6x a x.

$$-5x=0$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en 3y-x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3y=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=0$$