Resolver {l}{y=2x}{300x+200y=7000}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=10$$

$$y=20$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=0$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x$$

Substitúe y por 2x na outra ecuación, 200y+300x=7000.

$$200\times 2x+300x=7000$$

Multiplica 200 por 2x.

$$400x+300x=7000$$

Suma 400x a 300x.

$$700x=7000$$

Divide ambos lados entre 700.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en y=2x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 10$$

Multiplica 2 por 10.

$$y=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=20,x=10$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=20,x=10$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

Para que y e 200y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 200 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

Simplifica.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

Resta 200y+300x=7000 de 200y-400x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

Suma 200y a -200y. 200y e -200y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-400x-300x=-7000$$

Suma -400x a -300x.

$$-700x=-7000$$

Divide ambos lados entre -700.

$$x=10$$

Substitúe x por 10 en 200y+300x=7000. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$200y+300\times 10=7000$$

Multiplica 300 por 10.

$$200y+3000=7000$$

Resta 3000 en ambos lados da ecuación.

$$200y=4000$$

Divide ambos lados entre 200.

$$y=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=20,x=10$$