Resolver {l}{y=2x+8}{3x+2y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 8 } \\ { 3 x + 2 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-4$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=8$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x+8$$

Substitúe y por 8+2x na outra ecuación, 2y+3x=-12.

$$2\left(2x+8\right)+3x=-12$$

Multiplica 2 por 8+2x.

$$4x+16+3x=-12$$

Suma 4x a 3x.

$$7x+16=-12$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$7x=-28$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en y=2x+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\left(-4\right)+8$$

Multiplica 2 por -4.

$$y=-8+8$$

Suma 8 a -8.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 8+\frac{2}{7}\left(-12\right)\\-\frac{2}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=0,x=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=8,2y+3x=-12$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 8,2y+3x=-12$$

Simplifica.

$$2y-4x=16,2y+3x=-12$$

Resta 2y+3x=-12 de 2y-4x=16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-4x-3x=16+12$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x-3x=16+12$$

Suma -4x a -3x.

$$-7x=16+12$$

Suma 16 a 12.

$$-7x=28$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en 2y+3x=-12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y+3\left(-4\right)=-12$$

Multiplica 3 por -4.

$$2y-12=-12$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$2y=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=-4$$