Resolver {l}{y=2x+7}{2y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x + 7 } \\ { 2 y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=7$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x+7$$

Substitúe y por 2x+7 na outra ecuación, 2y-x=2.

$$2\left(2x+7\right)-x=2$$

Multiplica 2 por 2x+7.

$$4x+14-x=2$$

Suma 4x a -x.

$$3x+14=2$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$3x=-12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en y=2x+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\left(-4\right)+7$$

Multiplica 2 por -4.

$$y=-8+7$$

Suma 7 a -8.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 2\\-\frac{2}{3}\times 7+\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-1,x=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=7$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$2y-x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=7,2y-x=2$$

Para que y e 2y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2y+2\left(-2\right)x=2\times 7,2y-x=2$$

Simplifica.

$$2y-4x=14,2y-x=2$$

Resta 2y-x=2 de 2y-4x=14 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-4x+x=14-2$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x+x=14-2$$

Suma -4x a x.

$$-3x=14-2$$

Suma 14 a -2.

$$-3x=12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en 2y-x=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$2y-\left(-4\right)=2$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$2y=-2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=-4$$