Resolver {l}{y=-x-7}{5y+3x=-13}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 7 } \\ { 5 y + 3 x = - 13 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-11$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+x=-7$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$y=-x-7$$

Substitúe y por -x-7 na outra ecuación, 5y+3x=-13.

$$5\left(-x-7\right)+3x=-13$$

Multiplica 5 por -x-7.

$$-5x-35+3x=-13$$

Suma -5x a 3x.

$$-2x-35=-13$$

Suma 35 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=22$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-11$$

Substitúe x por -11 en y=-x-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\left(-11\right)-7$$

Multiplica -1 por -11.

$$y=11-7$$

Suma -7 a 11.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=-11$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{5}{2}\left(-7\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=4,x=-11$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+x=-7,5y+3x=-13$$

Para que y e 5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5y+5x=5\left(-7\right),5y+3x=-13$$

Simplifica.

$$5y+5x=-35,5y+3x=-13$$

Resta 5y+3x=-13 de 5y+5x=-35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5y-5y+5x-3x=-35+13$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x-3x=-35+13$$

Suma 5x a -3x.

$$2x=-35+13$$

Suma -35 a 13.

$$2x=-22$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-11$$

Substitúe x por -11 en 5y+3x=-13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5y+3\left(-11\right)=-13$$

Multiplica 3 por -11.

$$5y-33=-13$$

Suma 33 en ambos lados da ecuación.

$$5y=20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=4,x=-11$$