Resolver {l}{y=-x-3}{y=-8x+4}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x - 3 } \\ { y = - 8 x + 4 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=1$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 8x en ambos lados.

$$y+8x=4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+x=-3$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$y=-x-3$$

Substitúe y por -x-3 na outra ecuación, y+8x=4.

$$-x-3+8x=4$$

Suma -x a 8x.

$$7x-3=4$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$7x=7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=-x-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-1-3$$

Suma -3 a -1.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-4,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 8x en ambos lados.

$$y+8x=4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-1}&-\frac{1}{8-1}\\-\frac{1}{8-1}&\frac{1}{8-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7}\left(-3\right)-\frac{1}{7}\times 4\\-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-4,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 8x en ambos lados.

$$y+8x=4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+x=-3,y+8x=4$$

Resta y+8x=4 de y+x=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+x-8x=-3-4$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x-8x=-3-4$$

Suma x a -8x.

$$-7x=-3-4$$

Suma -3 a -4.

$$-7x=-7$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y+8x=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+8=4$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-4,x=1$$