Resolver {l}{y=-x+6}{y=1/2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 2 } x - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+x=6$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$y=-x+6$$

Substitúe y por -x+6 na outra ecuación, y-\frac{1}{2}x=-1.

$$-x+6-\frac{1}{2}x=-1$$

Suma -x a -\frac{x}{2}.

$$-\frac{3}{2}x+6=-1$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}x=-7$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{14}{3}$$

Substitúe x por \frac{14}{3} en y=-x+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\frac{14}{3}+6$$

Suma 6 a -\frac{14}{3}.

$$y=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{-\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta \frac{1}{2}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+x=6,y-\frac{1}{2}x=-1$$

Resta y-\frac{1}{2}x=-1 de y+x=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+x+\frac{1}{2}x=6+1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+\frac{1}{2}x=6+1$$

Suma x a \frac{x}{2}.

$$\frac{3}{2}x=6+1$$

Suma 6 a 1.

$$\frac{3}{2}x=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{14}{3}$$

Substitúe x por \frac{14}{3} en y-\frac{1}{2}x=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\frac{1}{2}\times \frac{14}{3}=-1$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{14}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y-\frac{7}{3}=-1$$

Suma \frac{7}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{4}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{4}{3},x=\frac{14}{3}$$