Resolver {l}{y=-x+5}{y=2x-1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 5 } \\ { y = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+x=5$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$y=-x+5$$

Substitúe y por -x+5 na outra ecuación, y-2x=-1.

$$-x+5-2x=-1$$

Suma -x a -2x.

$$-3x+5=-1$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=-x+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2+5$$

Suma 5 a -2.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=3,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+x=5,y-2x=-1$$

Resta y-2x=-1 de y+x=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+x+2x=5+1$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+2x=5+1$$

Suma x a 2x.

$$3x=5+1$$

Suma 5 a 1.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y-2x=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2\times 2=-1$$

Multiplica -2 por 2.

$$y-4=-1$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=2$$