Resolver {l}{y=-x+3}{y=x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x + 3 } \\ { y = x + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=0$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+x=3,y-x=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+x=3$$

Resta x en ambos lados da ecuación.

$$y=-x+3$$

Substitúe y por -x+3 na outra ecuación, y-x=3.

$$-x+3-x=3$$

Suma -x a -x.

$$-2x+3=3$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=0$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y=-x+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+x=3,y-x=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\times 3\\\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=3,x=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+x=3,y-x=3$$

Resta y-x=3 de y+x=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+x+x=3-3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$x+x=3-3$$

Suma x a x.

$$2x=3-3$$

Suma 3 a -3.

$$2x=0$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=0$$

Substitúe x por 0 en y-x=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=0$$