Resolver {l}{y=-5x+1}{y=x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { y = x + 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+5x=1$$

Resta 5x en ambos lados da ecuación.

$$y=-5x+1$$

Substitúe y por -5x+1 na outra ecuación, y-x=7.

$$-5x+1-x=7$$

Suma -5x a -x.

$$-6x+1=7$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-6x=6$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=-5x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

Multiplica -5 por -1.

$$y=5+1$$

Suma 1 a 5.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{5}{-1-5}\\-\frac{1}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{5}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\times 7\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=6,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+5x=1,y-x=7$$

Resta y-x=7 de y+5x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+5x+x=1-7$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5x+x=1-7$$

Suma 5x a x.

$$6x=1-7$$

Suma 1 a -7.

$$6x=-6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y-x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\left(-1\right)=7$$

Multiplica -1 por -1.

$$y+1=7$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-1$$