Resolver {l}{y=-4x-3}{y=x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x - 3 } \\ { y = x + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+4x=-3$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=-4x-3$$

Substitúe y por -4x-3 na outra ecuación, y-x=2.

$$-4x-3-x=2$$

Suma -4x a -x.

$$-5x-3=2$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=-4x-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-4\left(-1\right)-3$$

Multiplica -4 por -1.

$$y=4-3$$

Suma -3 a 4.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4}&-\frac{4}{-1-4}\\-\frac{1}{-1-4}&\frac{1}{-1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{4}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=1,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+4x=-3,y-x=2$$

Resta y-x=2 de y+4x=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+4x+x=-3-2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x+x=-3-2$$

Suma 4x a x.

$$5x=-3-2$$

Suma -3 a -2.

$$5x=-5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y-x=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-\left(-1\right)=2$$

Multiplica -1 por -1.

$$y+1=2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-1$$