Resolver {l}{y=-4x+2}{y=-2x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 4 x + 2 } \\ { y = - 2 x - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+4x=2$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$y=-4x+2$$

Substitúe y por -4x+2 na outra ecuación, y+2x=-2.

$$-4x+2+2x=-2$$

Suma -4x a 2x.

$$-2x+2=-2$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-4$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=-4x+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-4\times 2+2$$

Multiplica -4 por 2.

$$y=-8+2$$

Suma 2 a -8.

$$y=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-6,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+2\left(-2\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-6,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 4x en ambos lados.

$$y+4x=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+4x=2,y+2x=-2$$

Resta y+2x=-2 de y+4x=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+4x-2x=2+2$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4x-2x=2+2$$

Suma 4x a -2x.

$$2x=2+2$$

Suma 2 a 2.

$$2x=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y+2x=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+2\times 2=-2$$

Multiplica 2 por 2.

$$y+4=-2$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=-6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-6,x=2$$