Resolver {l}{y=-3x-17}{3y=3x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x - 17 } \\ { 3 y = 3 x + 9 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-5$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=-17$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$3y-3x=9$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+3x=-17$$

Resta 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=-3x-17$$

Substitúe y por -3x-17 na outra ecuación, 3y-3x=9.

$$3\left(-3x-17\right)-3x=9$$

Multiplica 3 por -3x-17.

$$-9x-51-3x=9$$

Suma -9x a -3x.

$$-12x-51=9$$

Suma 51 en ambos lados da ecuación.

$$-12x=60$$

Divide ambos lados entre -12.

$$x=-5$$

Substitúe x por -5 en y=-3x-17. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-3\left(-5\right)-17$$

Multiplica -3 por -5.

$$y=15-17$$

Suma -17 a 15.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=-5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=-17$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$3y-3x=9$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 3}&-\frac{3}{-3-3\times 3}\\-\frac{3}{-3-3\times 3}&\frac{1}{-3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-17\right)+\frac{1}{4}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-17\right)-\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-2,x=-5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=-17$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3x en ambos lados.

$$3y-3x=9$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+3x=-17,3y-3x=9$$

Para que y e 3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3y+3\times 3x=3\left(-17\right),3y-3x=9$$

Simplifica.

$$3y+9x=-51,3y-3x=9$$

Resta 3y-3x=9 de 3y+9x=-51 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y+9x+3x=-51-9$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9x+3x=-51-9$$

Suma 9x a 3x.

$$12x=-51-9$$

Suma -51 a -9.

$$12x=-60$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=-5$$

Substitúe x por -5 en 3y-3x=9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3y-3\left(-5\right)=9$$

Multiplica -3 por -5.

$$3y+15=9$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$3y=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-2,x=-5$$