Resolver {l}{y=-3x+5}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+3x=5$$

Resta 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=-3x+5$$

Substitúe y por -3x+5 na outra ecuación, y-2x=0.

$$-3x+5-2x=0$$

Suma -3x a -2x.

$$-5x+5=0$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=-3x+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-3+5$$

Suma 5 a -3.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=2,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{3}{-2-3}\\-\frac{1}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=2,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Resta y-2x=0 de y+3x=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+3x+2x=5$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x+2x=5$$

Suma 3x a 2x.

$$5x=5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y-2x=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=2,x=1$$