Resolver {l}{y=-2x}{4x+6y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-3$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+2x=0$$

Resta 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=-2x$$

Substitúe y por -2x na outra ecuación, 6y+4x=24.

$$6\left(-2\right)x+4x=24$$

Multiplica 6 por -2x.

$$-12x+4x=24$$

Suma -12x a 4x.

$$-8x=24$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-3$$

Substitúe x por -3 en y=-2x. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2\left(-3\right)$$

Multiplica -2 por -3.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 6}&-\frac{2}{4-2\times 6}\\-\frac{6}{4-2\times 6}&\frac{1}{4-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 24\\-\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=6,x=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 2x en ambos lados.

$$y+2x=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+2x=0,6y+4x=24$$

Para que y e 6y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$6y+6\times 2x=0,6y+4x=24$$

Simplifica.

$$6y+12x=0,6y+4x=24$$

Resta 6y+4x=24 de 6y+12x=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6y-6y+12x-4x=-24$$

Suma 6y a -6y. 6y e -6y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12x-4x=-24$$

Suma 12x a -4x.

$$8x=-24$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=-3$$

Substitúe x por -3 en 6y+4x=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$6y+4\left(-3\right)=24$$

Multiplica 4 por -3.

$$6y-12=24$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$6y=36$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-3$$